下载频道> 资源分类> matlab源码> 数学建模> 狼兔追击问题数学建模题目

标题:狼兔追击问题数学建模题目
分享到:

所属分类: 数学建模 资源类型:文档 文件大小: 31.99 KB 上传时间: 2019-07-11 20:29:54 下载次数: 0 资源积分:1分 提 供 者: zhangsan456 狼兔追击问题数学建模题目
内容:
狼追击兔子的问题
1.1 问题重述与分析
狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时,一只恶狼出现在兔子正东的100码处。当两只动物同时发现对方以后,兔子奔向自己的洞穴,狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子?
为了研究狼是否能够追上兔子,可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线,然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。
1.2 变量说明
 :兔子的速度(单位:码/秒)
 :狼与兔子速度的倍数;
 :狼的速度(单位:码/秒),显然有 
 :狼追击兔子的时刻(t=0时,表示狼开始追兔子的时刻)
 :在时刻t,兔子跑过的路程(单位:码), 
 :在时刻t,狼跑过的路程(单位:码), 
Q :表示在时刻t时,兔子的坐标
P :表示在时刻t时,狼子的坐标
1.3 模型假设
1、 狼在追击过程中始终朝向兔子;
2、 狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线,即将动点P 的轨迹看作一条曲线,曲线方程表示为 。
1.4 模型建立
(一)建模准备
以t=0时,兔子的位置作为直角坐标原点,兔子朝向狼的方向为x轴正向;
则显然有兔子位置的横坐标 。
对狼来说,当x=100,y=0,即 
在t=0刚开始追击时,狼的奔跑方向朝向兔子,此时即x轴负方向,
则有
 
(二)建立模型
1、追击方向的讨论
由于狼始终朝向兔子,则在狼所在位置P 点过狼的轨迹处的切线方向在y轴上的截距为 。
设切线上的动点坐标为(X,Y),则切线方程为
                          (1)
在(1)中,令X=0,则截距 。
此时 。
则此时截距等于兔子所跑过的路程,即:
 ,
从而可得
                           (2)
2、狼与兔子速度关系的建模
在t时刻,兔子跑过的路程为
                             (3)
由于狼的速度是兔子的r倍,则狼跑的路程为
                            (4)
狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到,如下。
                     (5)
联立(2)、(4)、(5)得
           (6)
对(6)两边求对x的导数,化简得
                      (7)
微分方程(7)式的初始条件有:
 
 
3、是否追上的判断
要判定狼是否追上兔子,
可以通过(7)式判定。
对(7)式,
当x=0,如果计算求解得到 ,则视为没有追上;
当x=0,如果计算求解得到 ,则视为兔子被追上;
1.5 模型求解
由微分方程得到其Matlab函数
function yy=odefunlt(x,y)
%以狼在追击过程中的横坐标为自变量
yy(1,1)=y(2);
yy(2,1)=sqrt(1+y(2).^2)./(2.*x);
 
主程序:
tspan=100:-0.1:0.1;%以狼的x坐标为自变量
y0=[0 0];
%下面只知道狼是否追上兔子,但是不易推得兔子刚刚到达窝边时,狼与兔之间的距离
[T,Y] = ode45('odefunlt',tspan,y0);
n=size(Y,1);
disp('狼的坐标(x=0.1)')
disp(Y(n,1))%通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1(即tspan=0.1)时,狼的纵坐标
 
1.6 模型结果与分析
运行结果:
狼的坐标(x=0.1)
   62.1932
通过上面运行结果可知,狼并没有追上兔子。
1.7 思考题
通过上面的结果已经知道狼并没有追上兔子。那么兔子跑回窝边时,狼与兔子之间的距离是多少?上面的程序不能解决此问题,那么用什么办法解决呢?
 
(一)解决思路
可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进行模拟,然后从模拟结果获取。
模拟程序如下,程序文件名sim_langtu.m:
function sim_langtu
%《狼兔追击问题》
%(离散模拟)
%这里没有具体考虑狼、兔的具体速度
%主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程
Q=[0 0];%兔子坐标
P=[100 0];%狼坐标
PQ=Q-P;%狼兔方向向量  
step =1;%模拟步长:兔子奔跑的距离,step越小就越精确
count = 60/step;%以兔子的奔跑距离划分
PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化,单位向量
trackP=P;
trackQ=Q;
for k=1:count;   
   P = P + 2*PQ;%2倍速度
   Q = Q + step*[0 1];%[0 1]为兔子奔跑方向的单位方向向量
   PQ = Q - P;
   trackP(1+k,:)=P;
   trackQ(1+k,:)=Q;
   PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化,单位向量   
   dis=  sqrt(sum((P-Q).^2));
   plot(trackP(:,1),trackP(:,2),'*',Q(1),Q(2),'rp',0,60,'r+');
   pause(0.5)
end%for
dis%兔子到达窝边时,狼兔之间的距离
P  %兔子到达窝边时,狼的坐标
Q  %兔子到达窝边时,兔子的坐标
(二)模拟程序运行结果
dis =
7.0619
P =
1.6805   53.1410
Q =
     0    60
注:如果修改程序中的step赋值,则结果稍有不同。
程序结束后,输出狼兔的位置图如下。通过下图可以直观的看到,当兔子回到窝边时,狼还与兔子有一段距离,这表示兔子成功逃脱。

文件列表(点击上边下载按钮,如果是垃圾文件请在下面评价差评或者投诉):

狼兔追击问题数学建模题目.doc

关键词: 狼兔追击问题 数学建模题目

Top_arrow
回到顶部
联系方式| 版权声明| 招聘信息| 广告服务| 银行汇款| 法律顾问| 兼职技术| 付款方式| 关于我们|
网站客服网站客服 程序员兼职招聘 程序员兼职招聘 博客客服
沪 ICP 证 14049794 号
谷速代码 版权所有
Copyright © 1999-2014, GUSUCODE.COM, All Rights Reserved